ಸೃಷ್ಟಿಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುವುದು

ಆದಿಕಾಂಡ 1: 1 - “ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ದೇವರು ಸ್ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಭೂಮಿಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದನು”

ಸರಣಿ 1 - ಸೃಷ್ಟಿಯ ಕೋಡ್ - ಗಣಿತ

ಭಾಗ 1 - ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸಮೀಕರಣ - ದೇವರ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೋಟ

ಪರಿಚಯ

ಗಣಿತದ ವಿಷಯವು ಎರಡು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತರುತ್ತದೆ.

1. 1. ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ, ಅದು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ
   2. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾನು ಗಣಿತವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ xxxxxx.

ಹೇಗಾದರೂ, 'ಗಣಿತ' ಪದದ ದೃಷ್ಟಿ ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೂ, ದೇವರ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಈ ಸುಂದರವಾದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಉಳಿದವರು ಭರವಸೆ ನೀಡಿದರು.

ಈ ಲೇಖನವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ದೇವರು ಇದ್ದಾನೆ ಎಂಬ ವಿಶ್ವಾಸದ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದವನು, ವಿಕಾಸದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ ಕುರುಡು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ನಾವು ಇಲ್ಲಿಗೆ ಬಂದಿರುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ದಯವಿಟ್ಟು ನನ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಬೆರಗುಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ!

ಗಣಿತ

ಮೋನಾ ಲಿಸಾದಂತಹ ಸುಂದರವಾದ ಅಥವಾ ಆಕರ್ಷಣೀಯವಾದ ವರ್ಣಚಿತ್ರವನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಶಂಸಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತನ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಭಯಭೀತರಾಗಬಹುದು. ಇದು ಗಣಿತದಂತೆಯೇ ಇದೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದರ ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶಂಸಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸುಂದರವಾಗಿರುತ್ತದೆ!

ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು?

• • ಗಣಿತವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು?

• • ಅವುಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಪ್ರಮಾಣ.

ಆಗ ಅಂಕಿಗಳು ಯಾವುವು?

• • ಲಿಖಿತ ಅಂಕಿಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ, ಅವುಗಳು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಲಿಖಿತ ಮತ್ತು ದೃಶ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
  • ಅವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕಾದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ.

• • ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿಷಯ.

ಬೇಸಿಸ್

ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ "ಸೆಟ್" ನ. ನೀವು ಇಸ್ಪೀಟೆಲೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಅಥವಾ ಚೆಸ್ ತುಣುಕುಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ವೈನ್ ಗ್ಲಾಸ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು:

SET: = ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಗ್ರಹ.

ವಿವರಿಸಲು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಇಸ್ಪೀಟೆಲೆಗಳು ಇಡೀ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಚೆಸ್ ತುಣುಕು ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೆಸ್ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ವೈನ್ ಗ್ಲಾಸ್ ಎನ್ನುವುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಕಾರದ ಕನ್ನಡಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ವೈನ್‌ನಿಂದ ಉತ್ತಮವಾದ ವಾಸನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ನೋಟವನ್ನು ಹೊರತರುವಂತೆ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಆ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ: 0, -2, 1, 2, -1, 3, -3, -½,.

ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಸೇರಿವೆ

• • ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್: {-2, -1, -3, -½}
  • ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್: {1, 2, 3,}}
  • ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೆಟ್: {-½, ½}
  • ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಧನಾತ್ಮಕ: {1, 2, 3}

ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅಂತಹ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್:

ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಸಿ) ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ Z ಡ್ ಸೂತ್ರ_n² + ಸಿ = .ಡ್_n+1 ಮತ್ತು .ಡ್_n ಸಣ್ಣದಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಗುಂಪಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು:

C = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ Z ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ_n = 0.

ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು:

() ಡ್) 0² + (ಸಿ) 1 = 1. ಆದ್ದರಿಂದ .ಡ್_n = 0 ಮತ್ತು 1.

ಮುಂದೆ 1 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

() ಡ್) 1²+ (ಸಿ) 1 = 2.

ಮುಂದೆ 2 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

2²+1 = 5

ಮುಂದೆ 5 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = 5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

5²+1 = 26

ಮುಂದೆ 26 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = 26 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

26²+1 = 677

ಆದ್ದರಿಂದ .ಡ್_n= 0, 1, 2, 5, 26, 677,…

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿ = 1 ರ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು ಅಲ್ಲ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್ನ ಭಾಗವು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಣ್ಣದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ 677 ಆಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಗಿದೆ ಸಿ = -1 ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗ?

ಸಣ್ಣ ಉತ್ತರ ಹೌದು, ಮೇಲೆ ಅನುಸರಿಸಿದ ಅದೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

Z ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ_n = 0. ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು:

() ಡ್) 0² (ಸಿ) -1 = -1. ಆದ್ದರಿಂದ .ಡ್_n = -1.

ಮುಂದೆ -1 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = -1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

-1² -1 = 0

ಮುಂದೆ 0 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

 0²-1 = -1

ಮುಂದೆ -1 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = -1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

-1² -1 = 0

ಮುಂದೆ 0 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುವ = ಡ್ = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ:

 0²-1 = -1

ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ .ಡ್_n= 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1,….

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು c = -1 is ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್ನ ಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಣ್ಣದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಇದೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸೌಂದರ್ಯವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೊದಲು ನಾವು ಹಿನ್ನೆಲೆಯಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್ 'ಕಾಲ್ಪನಿಕ' ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

• • 'ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ' ಯ ಚೌಕವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
  • ನಾನು ಹಾಗೆ²= -1 ಅಲ್ಲಿ ನಾನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅವುಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮತಲ x ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ Y ಅಕ್ಷವು -i ನಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ, - ½i ಶೂನ್ಯದ ಮೂಲಕ (ಎರಡು ಅಕ್ಷದ ಅಡ್ಡ ಬಿಂದು) ಮತ್ತು ಮೇಲಕ್ಕೆ ½i ಮತ್ತು i ಗೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 1: ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 0, -1, -2, are, ಆದರೆ 1, -3, not ಅಲ್ಲ. ಈ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು i, -i, ½i, - ½I, ಆದರೆ 2i, -2i ಅಲ್ಲ.

ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಗಣಿತಗಳ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ!

ಈ ಸೂತ್ರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು

ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಅಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಯೋಜಿಸಲು ನೀವು imagine ಹಿಸಿದಂತೆ ಬಹಳ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, 100 ರ ಸಾವಿರಾರು, ಲಕ್ಷಾಂತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮ ಬಳಕೆಗೆ ತರಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಸೂತ್ರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರವಿರುವ, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹಳದಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಚಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

(ಕೆಳಗಿನವುಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು:

1. 1. http://math.hws.edu/eck/js/mandelbrot/MB.html
   2. https://sciencedemos.org.uk/mandelbrot.php
   3. http://www.jakebakermaths.org.uk/maths/mandelbrot/canvasmandelbrotv12.html
   4. http://davidbau.com/mandelbrot/
   5. https://fractalfoundation.org/resources/fractal-software/
   6. https://www.youtube.com/watch?v=PD2XgQOyCCk

)

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 2: ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಫಲಿತಾಂಶ

ಅನ್ವೇಷಣೆ 1

ಆಕಾರದಂತಹ ದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ಮೂತ್ರಪಿಂಡದ ಮೇಲೆ ದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳ ಮೇಲೆ ಹಳದಿ ಕೊಂಬೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ಮೂತ್ರಪಿಂಡದ ಆಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲಿನ ಸಣ್ಣ ಕಪ್ಪು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ನಾವು 3 ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮುಂದಿನ ಚಿಕ್ಕ ವಲಯಕ್ಕೆ ಹೋದರೆ, ನಾವು 5 ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ.

ಎಡಕ್ಕೆ ಮುಂದಿನ ದೊಡ್ಡದು 7, ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ, 9, 11, 13, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಬೆಸ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 3: ಶಾಖೆಗಳು

ಅನ್ವೇಷಣೆ 2

ಈಗ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಕಪ್ಪು ಮೂತ್ರಪಿಂಡದ ಆಕಾರದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ ಅದು ಹೇಗೆ ಎಣಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನಾವು 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ಮತ್ತು ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ಚೆಂಡುಗಳ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಶಾಖೆಗಳ ಎಣಿಕೆಯಂತೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅನ್ವೇಷಣೆ 3

ಆದರೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಮುಗಿಸಿಲ್ಲ. ಮೇಲಿನಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಹೋದರೆ, 3 ಮತ್ತು 5 ಶಾಖೆಯ ವಲಯಗಳ ನಡುವೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕಪ್ಪು ವೃತ್ತವು 8 ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎರಡೂ ಬದಿ ವಲಯಗಳಿಂದ ಶಾಖೆಗಳ ಮೊತ್ತ! ಮತ್ತು 5 ಮತ್ತು 7 ರ ನಡುವೆ ಸಣ್ಣ ಕಪ್ಪು ವೃತ್ತವು 12, ಮತ್ತು ಮುಂದಿದೆ.

ಅದೇ ಮೊತ್ತವು ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 3 ಮತ್ತು 4 ರ ನಡುವಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಚೆಂಡು 7 ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು 4 ಮತ್ತು 5 ರ ನಡುವೆ 9 ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 4: ಶಾಖೆಗಳು ಗಣಿತವನ್ನೂ ಮಾಡಬಹುದು!

ಅನ್ವೇಷಣೆ 4

ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದೇ ಆಕಾರಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 5: ಅದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ವರ್ಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಪ್ಪು ರೇಖೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಡಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಪುಟ್ಟ ಕಪ್ಪು ಚುಕ್ಕೆ, ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಂತೆಯೇ ದೊಡ್ಡದಾದ ಚಿತ್ರ. ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಮನಸ್ಸನ್ನು ಕಂಗೆಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನ್ವೇಷಣೆ 5

ದೊಡ್ಡ ಹೃದಯ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಕಪ್ಪು ವೃತ್ತದ ನಡುವೆ ಅಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸುಂದರ ಆಕಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಸೀಹಾರ್ಸ್ ಕಣಿವೆಯಂತೆ ಕಾಣುವ ಪ್ರದೇಶವಿದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 6: ಸಮುದ್ರ ಕುದುರೆಗಳ ಕಣಿವೆ!

ಸುಲಭವಾದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಗಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಹಳದಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ನಾವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ o ೂಮ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಗತ್ತಿಸಲಾದ ಚೆಂಡಿನೊಂದಿಗೆ ಕಪ್ಪು ಮೂತ್ರಪಿಂಡದ ಆಕಾರದ ಮೂಲ ಮಾದರಿಯ ಹೆಚ್ಚು ಸುಂದರವಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 7: ಕ್ಲೋಸಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮುದ್ರ ಕುದುರೆ

ನಾವು ನೋಡುವ ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾದ ಬಿಳಿ ತಾಣದಲ್ಲಿ o ೂಮ್ ಮಾಡುವುದು:

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 8: ಸೀಹಾರ್ಸ್‌ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಳಿಯ ಸುರುಳಿಯ ವಿವರ

ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇನ್ನಷ್ಟು o ೂಮ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 9: ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಜೂಮ್ ಇನ್!

ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು oming ೂಮ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ಕಾಣುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 10: ಅದರ ಆಕಾರ ಮತ್ತೆ

ನಾವು ಸುಂಟರಗಾಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಜೂಮ್ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 11: ನಿಯಂತ್ರಣದಲ್ಲಿ ಸುರುಳಿ

ಮತ್ತು ಸುಂಟರಗಾಳಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 12: ಇದು ನನ್ನ ಕಣ್ಣುಗಳು ಸುಂಟರಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತಿದೆಯೇ?

ಎರಡು ಸುಂಟರಗಾಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು o ೂಮ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಆರಂಭಿಕ ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಮೂತ್ರಪಿಂಡದ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಚೆಂಡು ಸೇರಿದೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 13: ಆ ಕಪ್ಪು ಆಕಾರದ ಕೊನೆಯದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದಾಗ!

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 14: ಹೌದು, ಅದು ಮತ್ತೆ ಮರಳಿದೆ, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ವಿಭಿನ್ನ ಸುಂದರವಾದ ಮಾದರಿಯಿದೆ

ಅನ್ವೇಷಣೆ 6

ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸೆಟ್‌ನ ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಹೃದಯದ ಆಕಾರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ 'ಕಣಿವೆ'ಗೆ ತಿರುಗಿ o ೂಮ್ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಆನೆಯಂತಹ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಎಲಿಫೆಂಟ್ ವ್ಯಾಲಿ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 15: ಆನೆ ಕಣಿವೆ

ನಾವು o ೂಮ್ ಇನ್ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸುಂದರವಾದ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಕಾರಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರ 16: ಹಿಂಡಿನ ಅನುಸರಿಸಿ. ಹಪ್ ಎರಡು, ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಆನೆ ಮೆರವಣಿಗೆ.

ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ಅನ್ವೇಷಣೆ 7

ಹಾಗಾದರೆ, ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಈ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೇನು?

ಹೌದು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮಾನವ ನಿರ್ಮಿತ ಬಣ್ಣ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಬಣ್ಣಗಳು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುವ ಮಾದರಿಗಳು ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅದು ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಸೌಂದರ್ಯವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಂತೆ.

ಅನ್ವೇಷಣೆ 8

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿರಬಹುದು. ಆ ಮಾತು “ಪರಿಕಲ್ಪನೆ”.

• ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿದೆ.
• ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಅನ್ವೇಷಣೆ 9

ಇದು ಯೋಚಿಸುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ?

• • ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ಮತ್ತೊಂದು ಮನಸ್ಸಿನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಬರಬಲ್ಲವು, ಅದು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಾದ್ಯಂತ ಮಾನ್ಯವಾಗಲು ನಮಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ವಿಕಸನಗೊಂಡಿದೆಯೇ? ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಹೇಗೆ ಸಾಧ್ಯ?

• • ಅಮೂರ್ತ ವಸ್ತುಗಳು ಭೌತಿಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಜನರು ಗಣಿತದ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ್ದಾರೆಯೇ ಅಥವಾ ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆಯೇ?

• • ಇಲ್ಲ, ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಜನರ ಮುಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದವು.

ಅವರು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಿಂದ ಬಂದವರೇ?

• • ಇಲ್ಲ, ಯಾದೃಚ್ om ಿಕ ಅವಕಾಶದಿಂದ ಏನಾದರೂ ಆದೇಶವು ಬರಲಿಲ್ಲ. ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಕ್ಕೆ ಮನಸ್ಸು ಇಲ್ಲ.

ನಾವು ಬರಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ತೀರ್ಮಾನವೆಂದರೆ ಅವರು ಮನುಷ್ಯನಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಶ್ರೇಷ್ಠರು ಎಂಬ ಮನಸ್ಸಿನಿಂದ ಬರಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಸಮಂಜಸವಾಗಿ ಬರಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ಜೀವಿ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತನಾಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ದೇವರಿಂದ.

ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

• • ಪರಿಕಲ್ಪನಾ,
  • ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ,
  • ಅಸ್ಥಿರ,
  • ವಿನಾಯಿತಿ-ಕಡಿಮೆ ಘಟಕಗಳು.

ಅವರು ದೇವರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಬರಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ:

• • ದೇವರ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ (ಯೆಶಾಯ 55: 9)
  • ದೇವರು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದನು (ಆದಿಕಾಂಡ 1: 1)
  • ದೇವರು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಯೆಶಾಯ 43: 10 ಬಿ)
  • ದೇವರಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವರ್ಗೀಯ ಸೃಷ್ಟಿ ತಿಳಿದಿದೆ, ಏನೂ ಕಾಣೆಯಾಗಿಲ್ಲ (ಯೆಶಾಯ 40:26)

ತೀರ್ಮಾನಗಳು

1. 1. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಂಡೆಲ್‌ಬ್ರೊಟ್ ಸಮೀಕರಣದ ಈ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವನ್ನು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.
   2. ಇದು ನಮಗೆ ದೇವರ ಮನಸ್ಸಿನ ಒಂದು ನೋಟವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಮ, ಸೌಂದರ್ಯ ಮತ್ತು ಅನಂತ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಮನುಷ್ಯರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬುದ್ಧಿವಂತ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ.
   3. ಈ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು (ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ!) ಶ್ಲಾಘಿಸಲು ಅವರು ನಮಗೆ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅವರ ಪ್ರೀತಿಯನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದುದರಿಂದ ಆತನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಮತ್ತು ಅವನಿಗೆ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತನಾಗಿ ಮೆಚ್ಚುಗೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ.

ಸ್ವೀಕೃತಿಗಳು:

ಕಾರ್ನರ್‌ಸ್ಟೋನ್ ಟೆಲಿವಿಷನ್ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ನ ಒರಿಜಿನ್ಸ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ಯೂಟ್ಯೂಬ್ ವಿಡಿಯೋ “ದಿ ಸೀಕ್ರೆಟ್ ಕೋಡ್ ಆಫ್ ಕ್ರಿಯೇಷನ್” ನೀಡಿದ ಸ್ಫೂರ್ತಿಗಾಗಿ ಕೃತಜ್ಞತೆಯಿಂದ.

ನ್ಯಾಯಯುತ ಬಳಕೆ: ಬಳಸಿದ ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಗಳು ಹಕ್ಕುಸ್ವಾಮ್ಯದ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಇವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಕ್ಕುಸ್ವಾಮ್ಯ ಮಾಲೀಕರಿಂದ ಅಧಿಕೃತಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮತ್ತು ಧಾರ್ಮಿಕ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ನಮ್ಮ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಹ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಲಭ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಯುಎಸ್ ಕೃತಿಸ್ವಾಮ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಸೆಕ್ಷನ್ 107 ರಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಿರುವಂತಹ ಯಾವುದೇ ಹಕ್ಕುಸ್ವಾಮ್ಯದ ವಸ್ತುಗಳ ನ್ಯಾಯಯುತ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ. ಶೀರ್ಷಿಕೆ 17 ಯುಎಸ್ಸಿ ಸೆಕ್ಷನ್ 107 ರ ಪ್ರಕಾರ, ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಆಸಕ್ತಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವವರಿಗೆ ಈ ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುವು ಲಾಭವಿಲ್ಲದೆ ಲಭ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನ್ಯಾಯಯುತ ಬಳಕೆಗೆ ಮೀರಿದ ಹಕ್ಕುಸ್ವಾಮ್ಯದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೃತಿಸ್ವಾಮ್ಯ ಮಾಲೀಕರಿಂದ ಅನುಮತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು.

ತಡುವಾ

ತಡುವಾ ಅವರ ಲೇಖನಗಳು.