படைப்பின் உண்மையை சரிபார்க்கிறது

ஆதியாகமம் 1: 1 - “ஆரம்பத்தில் கடவுள் வானங்களையும் பூமியையும் படைத்தார்”

தொடர் 1 - படைப்பின் குறியீடு - கணிதம்

பகுதி 1 - மண்டேல்பிரோட் சமன்பாடு - கடவுளின் மனதில் ஒரு பார்வை

அறிமுகம்

கணிதத்தின் பொருள் இரண்டு பதில்களில் ஒன்றைக் கொண்டுவருகிறது.

    1. எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, அது மிகவும் சிக்கலானது அல்ல
    2. இந்த காரணத்திற்காக எனக்கு கணிதம் பிடிக்கவில்லை xxxxxx.

இருப்பினும், 'கணிதம்' என்ற வார்த்தையின் பார்வை என்னென்ன பிரதிபலிப்பை அளித்தாலும், கடவுளின் இருப்புக்கான இந்த அழகான ஆதாரத்தை புரிந்து கொள்ள எந்த கணிதத்தையும் நீங்கள் கணக்கிட தேவையில்லை என்று உறுதியளித்தனர்.

பரிணாமக் கோட்பாட்டின் படி குருட்டு வாய்ப்பால் நாம் இங்கு இருப்பதை எதிர்த்து, எல்லாவற்றையும் படைத்த ஒரு கடவுள் உண்மையில் இருக்கிறார் என்ற நம்பிக்கைக்கான காரணங்களை தெரிவிக்க இந்த கட்டுரை முயற்சிக்கும்.

எனவே தயவுசெய்து இந்த தேர்வை என்னுடன் தொடரவும், ஏனென்றால் இது உண்மையிலேயே அதிர்ச்சி தரும்!

கணிதம்

மோனாலிசா போன்ற ஒரு அழகான அல்லது வசீகரிக்கும் ஓவியத்தை நாம் காணும்போது, ​​அதைப் பாராட்டலாம், மேலும் அதன் படைப்பாளரைப் பார்த்து நாம் அச்சமடையலாம். இது கணிதத்திலும் உள்ளது, நாம் அதை அரிதாகவே புரிந்து கொள்ளலாம், ஆனால் அதன் அழகை நாம் இன்னும் பாராட்டலாம், ஏனென்றால் அது உண்மையிலேயே அழகாக இருக்கிறது!

கணிதம் என்றால் என்ன?

    • கணிதம் என்பது எண்களுக்கு இடையிலான உறவுகளைப் பற்றிய ஆய்வு.

எண்கள் என்றால் என்ன?

    • அவை சிறந்த முறையில் விளக்கப்பட்டுள்ளன கருத்து அளவு.

எண்கள் என்றால் என்ன?

    • எழுதப்பட்ட எண்கள் எண்கள் அல்ல, அவை எண்களின் கருத்தை எழுதப்பட்ட மற்றும் காட்சி வடிவத்தில் எவ்வாறு வெளிப்படுத்துகின்றன.
    • அவை வெறும் எண்களின் பிரதிநிதித்துவங்கள்.

கூடுதலாக, மனதில் கொள்ள வேண்டிய ஒரு முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், கணிதத்தின் அனைத்து சட்டங்களும் கருத்துரு.

    • ஒரு கருத்து என்பது மனதில் உருவான ஒன்று.

அடிப்படையில்

நாம் அனைவரும் அறிந்தவர்கள் கருத்து ஒரு "தொகுப்பு". நீங்கள் விளையாடும் அட்டைகளின் தொகுப்பு, அல்லது சதுரங்கத் துண்டுகள் அல்லது ஒயின் கண்ணாடிகளின் தொகுப்பு ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கலாம்.

எனவே, அந்த வரையறையை நாம் புரிந்து கொள்ளலாம்:

SET: = பொதுவான வரையறுக்கப்பட்ட சொத்துடன் கூறுகளின் தொகுப்பு.

விளக்குவதற்கு, ஒவ்வொரு தனி விளையாட்டு அட்டையும் முழு அட்டைகளின் ஒரு உறுப்பு ஆகும், அதேபோல் ஒவ்வொரு செஸ் துண்டுகளும் முழு சதுரங்க தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பு ஆகும். கூடுதலாக, ஒரு ஒயின் கிளாஸ் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தின் கண்ணாடிகளின் தொகுப்பில் ஒன்றாகும், இது மது மற்றும் வாசனை போன்ற மதுவிலிருந்து சிறந்ததை வெளியே கொண்டு வர வடிவமைக்கப்பட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

இதேபோல், கணிதத்தில், எண்களின் தொகுப்பு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சொத்து அல்லது பண்புகளைக் கொண்ட எண்களின் தொகுப்பாகும், அவை அந்த தொகுப்பை வரையறுக்கின்றன, ஆனால் அவை மற்றொரு தொகுப்பில் இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்: 0, -2, 1, 2, -1, 3, -3, -½,.

அந்த எண்களில் பின்வரும்வை சேர்ந்தவை

    • எதிர்மறை தொகுப்பு: {-2, -1, -3, -½}
    • நேர்மறை தொகுப்பு: {1, 2, 3,}}
    • பின்னங்கள் அமைக்கப்பட்டன: {-½, ½}
    • முழு எண் நேர்மறை: {1, 2, 3}

மற்றும் முன்னும் பின்னுமாக.

அத்தகைய ஒரு தொகுப்பு மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பு:

இது அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும் (இ) இதற்கான சூத்திரம் Zn2 + c = Z.n+1 மற்றும் இசட்n சிறியதாக உள்ளது.

மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பின் எண்களின் பகுதியை நிறுவுதல்

உதாரணமாக, எண் 1 மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பின் பகுதியாக இருக்கிறதா என்று சோதிக்க:

C = 1 என்றால் Z உடன் தொடங்கவும்n = 0.

இந்த சூத்திரத்தில் இந்த எண்களை மாற்றுவது:

(இஸட்) 02 + (c) 1 = 1. எனவே Z.n = 0 மற்றும் 1.

அடுத்து 1 இன் முடிவை எடுத்து, Z = 1 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

(இஸட்) 12+ (இ) 1 = 2.

அடுத்து 2 இன் முடிவை எடுத்து, Z = 2 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

22+1 = 5

அடுத்து 5 இன் முடிவை எடுத்து, Z = 5 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

52+1 = 26

அடுத்து 26 இன் முடிவை எடுத்து, Z = 26 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

262+1 = 677

எனவே இசட்n= 0, 1, 2, 5, 26, 677,…

எனவே c = 1 இன் மதிப்பு என்பதை நாம் காணலாம் இல்லை மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பின் ஒரு பகுதி சிறியதாக இல்லை, உண்மையில் இது மிக விரைவாக 677 ஆகிவிட்டது.

எனவே, உள்ளது c = -1 மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பின் ஒரு பகுதி?

குறுகிய பதில் ஆம், மேலே பின்பற்றிய அதே படிகளைப் பின்பற்றுவதால் பின்வரும் எண்களின் வரிசை கிடைக்கிறது.

Z உடன் மீண்டும் தொடங்குகிறதுn = 0. இந்த சூத்திரத்தில் இந்த எண்களை மாற்றுவது நமக்கு கிடைக்கும்:

(இசட்) 02 (இ) -1 = -1. எனவே இசட்n = -1.

அடுத்து -1 இன் முடிவை எடுத்து, Z = -1 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

-12 -1 = 0.

அடுத்து 0 இன் முடிவை எடுத்து, Z = 0 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

02-1 = -1

அடுத்து -1 இன் முடிவை எடுத்து, Z = -1 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

-12 -1 = 0.

அடுத்து 0 இன் முடிவை எடுத்து, Z = 0 ஐ அமைப்பது நமக்கு கிடைக்கும்:

02-1 = -1

இதன் விளைவாக இசட்n= 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1,….

எனவே அதை நாம் காணலாம் c = -1 is மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பின் ஒரு பகுதி எப்போதும் சிறியதாக இருக்கும்.

இன்னும் ஒன்று உள்ளது கருத்து அழகைக் காணும் முன் நாம் பின்னணியாக விவாதிக்க வேண்டும்.

மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பில் 'கற்பனை' எண்களும் உள்ளன.

    • 'கற்பனை எண்ணின்' சதுரம் எதிர்மறை எண்.
    • நான் போன்ற2= -1 எங்கே நான் கற்பனை எண்.

அவற்றைக் காட்சிப்படுத்த எதிர்மறை எண்களை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து நேர்மறை எண்களைக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தின் கிடைமட்ட x அச்சு பற்றி சிந்தியுங்கள். பின்னர் Y அச்சு -i இலிருந்து செங்குத்தாக செல்கிறது, - ½i பூஜ்ஜியம் வழியாக (இரண்டு அச்சின் குறுக்கு புள்ளி) மற்றும் மேல்நோக்கி ½i மற்றும் i.

வரைபடம் 1: கற்பனை எண்களைக் காண்பித்தல் மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பில் உள்ள மற்ற எண்கள் 0, -1, -2, are, அதேசமயம் 1, -3, not இல்லை. இந்த தொகுப்பில் அதிகமான எண்களில் i, -i, ½i, - ½I, ஆனால் 2i, -2i இல்லை.

அனைத்து சிக்கலான கணிதங்களின் முடிவும் அதுதான்.

இப்போது இது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது!

இந்த சூத்திரத்தின் முடிவுகள்

செல்லுபடியாகும் மற்றும் செல்லாத எல்லா மதிப்புகளையும் கையால் கணக்கிட்டு பின்னர் திட்டமிட நீங்கள் கற்பனை செய்யலாம்.

எவ்வாறாயினும், 100 இன் ஆயிரக்கணக்கான, மில்லியன் கணக்கான மதிப்புகளைக் கூட கணக்கிட கணினிகள் மிகச் சிறந்த பயன்பாட்டிற்கு கொண்டு வரப்படலாம், பின்னர் இந்த சூத்திரத்தின் முடிவுகளை ஒரு வரைபடத்தில் பார்வைக்குத் திட்டமிடலாம்.

கண்ணால் எளிதில் அடையாளம் காண செல்லுபடியாகும் புள்ளிகள் கருப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன, தவறான புள்ளிகள் சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் மிக நெருக்கமான, ஆனால் மிகவும் செல்லுபடியாகாத புள்ளிகள் மஞ்சள் நிறத்தில் குறிக்கப்படுகின்றன.

அதைச் செய்ய நாம் ஒரு கணினி நிரலை இயக்கினால், பின்வரும் முடிவைக் கீழே காண்பிக்கிறோம்.

(பின்வருபவை போன்ற பல்வேறு ஆன்லைன் நிரல்களுடன் இதை நீங்களே முயற்சி செய்யலாம்:

    1. http://math.hws.edu/eck/js/mandelbrot/MB.html
    2. https://sciencedemos.org.uk/mandelbrot.php
    3. http://www.jakebakermaths.org.uk/maths/mandelbrot/canvasmandelbrotv12.html
    4. http://davidbau.com/mandelbrot/
    5. https://fractalfoundation.org/resources/fractal-software/
    6. https://www.youtube.com/watch?v=PD2XgQOyCCk

)

வரைபடம் 2: மாண்டல்பிரோட் சமன்பாட்டை மேப்பிங் செய்வதன் முடிவு

கண்டுபிடிப்பு 1

வடிவம் போன்ற பெரிய கருப்பு சிறுநீரகத்தில் பெரிய கருப்பு பந்துகளில் மஞ்சள் கிளைகளை எண்ணத் தொடங்குகிறோம்.

பெரிய கருப்பு சிறுநீரக வடிவ பகுதியின் மேல் சிறிய கருப்பு வட்டத்தில் எங்களுக்கு 3 கிளைகள் உள்ளன. இடதுபுறத்தில் அடுத்த சிறிய வட்டத்திற்குச் சென்றால், 5 கிளைகளைக் காணலாம்.

இடதுபுறத்தில் அடுத்த மிகப்பெரியது 7, மற்றும் முன்னதாக, 9, 11, 13, போன்றவை, ஒற்றைப்படை எண்களுக்கு ஒற்றைப்படை எண்கள்.

வரைபடம் 3: கிளைகள்

கண்டுபிடிப்பு 2

இப்போது, ​​மேலே இருந்து கருப்பு சிறுநீரக வடிவத்தின் வலதுபுறம் செல்வது எப்படி எண்ணுவது என்று தெரியும். மிகப்பெரிய கருப்பு பந்துகளின் மேற்புறத்தில் உள்ள கிளைகளின் எண்ணிக்கையாக 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 மற்றும் அதற்குப் பிறகு பெறுகிறோம்.

கண்டுபிடிப்பு 3

ஆனால் நாங்கள் இன்னும் முடிக்கவில்லை. மேலே இருந்து இடதுபுறமாகச் சென்றால், 3 மற்றும் 5 கிளை வட்டங்களுக்கு இடையில் மேலே இருந்து மிகப்பெரிய கருப்பு வட்டம் 8 கிளைகளைக் கொண்டுள்ளது, வட்டங்களிலிருந்து கிளைகளின் தொகை இருபுறமும் உள்ளது! 5 முதல் 7 வரை சிறிய கருப்பு வட்டம் 12, மற்றும் முன்னும் பின்னும் உள்ளது.

அதே தொகைகள் வலப்பக்கம் செல்கின்றன. எனவே, 3 மற்றும் 4 க்கு இடையிலான மிகப்பெரிய பந்து 7 கிளைகளையும், 4 முதல் 5 வரை 9 கிளைகளையும் கொண்டுள்ளது.

வரைபடம் 4: கிளைகளும் கணிதத்தையும் செய்யலாம்!

கண்டுபிடிப்பு 4

மேலும், இந்த வடிவங்களை தொடர்ந்து பெரிதாக்க முடியும், அதே வடிவங்கள் மீண்டும் மீண்டும் வரும்.

வரைபடம் 5: அதே முறை எண்ணற்ற முறையில் மீண்டும் மீண்டும்

பெரிதாக்கப்பட்டால், இங்கே நாம் காணும் அதே உருவமே இடதுபுறம் செல்லும் கருப்பு கோட்டின் இடதுபுறத்தில் உள்ள சிறிய கருப்பு புள்ளி. இது உண்மையிலேயே மனதைக் கவரும்.

கண்டுபிடிப்பு 5

பெரிய இதய வடிவத்திற்கும் இடதுபுறத்தில் இணைக்கப்பட்ட கருப்பு வட்டத்திற்கும் இடையில், அங்கு காணப்படும் அழகான வடிவங்களுக்கு சீஹார்ஸ் பள்ளத்தாக்கு போல ஒரு பகுதி உள்ளது.

வரைபடம் 6: கடல் குதிரைகளின் பள்ளத்தாக்கு!

நீல நிறத்தில் சிவப்பு நிறத்தையும், வெள்ளை நிறத்திற்கு மஞ்சள் நிறத்தையும் எளிதாக மாற்றும்போது, ​​நாம் பெரிதாக்கும்போது, ​​இடதுபுறத்தில் இணைக்கப்பட்ட பந்தைக் கொண்டு கருப்பு சிறுநீரக வடிவத்தின் அடிப்படை வடிவத்தின் மிக அழகான வடிவங்களையும், மீண்டும் மீண்டும் செய்வதையும் காண்கிறோம்.

வரைபடம் 7: நெருக்கமான கடற்படை

நாம் காணும் பிரகாசமான வெள்ளை இடத்தில் பெரிதாக்குதல்:

வரைபடம் 8: சீஹார்ஸின் மையத்தில் உள்ள வெள்ளை நிற சுழல் விவரம்

மேலும் மைய இடத்திலேயே மேலும் பெரிதாக்குவது பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

வரைபடம் 9: கூடுதல் பெரிதாக்கு!

இன்னும் பெரிதாக்குவது எங்கள் அடிப்படை வடிவங்களில் ஒன்றைக் காணலாம்:

வரைபடம் 10: அதன் வடிவம் மீண்டும்

நாம் ஒரு சுழற்சியைப் பெரிதாக்கினால், பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

வரைபடம் 11: கட்டுப்பாட்டில் சுழல்

மற்றும் சுழலின் மையத்தில் நாம் பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

வரைபடம் 12: இது என் கண்கள் சுழல்களிலும் செல்கிறதா?

இரண்டு சுழல்களில் ஒன்றைப் பெரிதாக்குவது பின்வரும் இரண்டு படங்களைப் பெறுகிறது, இதில் இன்னொரு தொடக்க மண்டேல்ப்ரோட் சிறுநீரக வடிவம் மற்றும் பந்து ஆகியவை அடங்கும்.

வரைபடம் 13: அந்த கருப்பு வடிவத்தின் கடைசிப் பகுதியை நீங்கள் பார்த்ததாக நினைத்தபோது!

வரைபடம் 14: ஆமாம், அது மீண்டும் வந்துவிட்டது, வேறு அழகான வடிவத்தால் சூழப்பட்டுள்ளது

கண்டுபிடிப்பு 6

மாண்டல்பிரோட் தொகுப்பின் எங்கள் முதல் படத்திற்குச் சென்று, பெரிய இதய வடிவத்தின் வலது புறத்தில் உள்ள 'பள்ளத்தாக்கு'க்குத் திரும்பி, பெரிதாக்கும்போது யானை போன்ற வடிவங்களைக் காண்கிறோம், அதற்கு நாங்கள் யானை பள்ளத்தாக்கு என்று பெயரிடுவோம்.

வரைபடம் 15: யானை பள்ளத்தாக்கு

நாம் பெரிதாக்கும்போது, ​​அழகான ஆனால் வேறுபட்ட வடிவங்களின் மற்றொரு தொகுப்பை பின்வருமாறு பெறுகிறோம்:

வரைபடம் 16: மந்தைகளைப் பின்தொடரவும். ஹப் இரண்டு, மூன்று, நான்கு, யானை அணிவகுப்பு.

நாம் தொடர்ந்து செல்லலாம்.

கண்டுபிடிப்பு 7

எனவே, மாண்டல்பிரோட் சமன்பாட்டிலிருந்து இந்த ஃப்ராக்டல்களில் உள்ள அழகுக்கு என்ன காரணம்?

ஆமாம், கணினி ஒரு மனிதனால் உருவாக்கப்பட்ட வண்ணத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தியிருக்கலாம், ஆனால் வண்ணங்கள் முன்னிலைப்படுத்தும் வடிவங்கள் கணித சூத்திரத்தின் விளைவாகும், அவை எப்போதும் உள்ளன. அது உருவாகவோ, மாற்றவோ முடியாது.

அழகு என்பது கணிதத்தில் உள்ளார்ந்ததாக இருக்கிறது, அதே போல் சிக்கலானது.

கண்டுபிடிப்பு 8

ஒரு குறிப்பிட்ட சொல் தொடர்ந்து வருவதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம். அந்த வார்த்தை "கருத்து".

  • ஒரு கருத்து இயற்கையில் சுருக்கம்.
  • ஒரு கருத்து நம் மனதில் மட்டுமே உள்ளது.

கண்டுபிடிப்பு 9

இது சிந்திக்கும் நபர்களின் மனதில் பின்வரும் கேள்விகளை எழுப்புகிறது.

கணித விதிகள் எங்கிருந்து வருகின்றன?

    • ஒரு கருத்தாக இருப்பதால், அவை வேறொரு மனதில் இருந்து மட்டுமே வர முடியும், இது பிரபஞ்சம் முழுவதும் செல்லுபடியாகும் வகையில் நம்முடையதை விட உயர்ந்த புத்திசாலித்தனமாக இருக்க வேண்டும்.

கணித விதிகள் உருவாகினதா? அப்படியானால், அவர்கள் எப்படி முடியும்?

    • சுருக்கமான விஷயங்கள் உடல் ரீதியானவை அல்ல என்பதால் அவை உருவாக முடியாது.

கணிதத்தின் இந்த சட்டங்களை மக்கள் கண்டுபிடித்தார்களா அல்லது உருவாக்கியார்களா?

    • இல்லை, கணித விதிகள் மக்கள் முன் இருந்தன.

அவை பிரபஞ்சத்திலிருந்து வந்தவையா?

    • இல்லை, சீரற்ற வாய்ப்பிலிருந்து ஏதாவது ஒழுங்கு வர முடியவில்லை. பிரபஞ்சத்திற்கு மனம் இல்லை.

நாம் வரக்கூடிய ஒரே முடிவு என்னவென்றால், அவை மனிதனை விட உயர்ந்தவர் என்ற மனதில் இருந்து வர வேண்டியிருந்தது. ஆகவே அவர்கள் நியாயமான முறையில் வரக்கூடிய ஒரே ஒரு பிரபஞ்சத்தின் படைப்பாளராக இருக்க வேண்டும், எனவே கடவுளிடமிருந்து.

கணித விதிகள்:

    • கருத்துரு,
    • உலகளாவிய,
    • மாற்றமில்லாத,
    • விதிவிலக்கு-குறைவான நிறுவனங்கள்.

அவர்கள் கடவுளிடமிருந்து மட்டுமே வர முடியும், ஏனெனில்:

    • கடவுளின் எண்ணங்கள் கருத்தியல் சார்ந்தவை (ஏசாயா 55: 9)
    • கடவுள் பிரபஞ்சத்தைப் படைத்தார் (ஆதியாகமம் 1: 1)
    • கடவுள் மாறவில்லை (ஏசாயா 43: 10 பி)
    • எல்லா பரலோக படைப்புகளையும் கடவுள் அறிவார், எதுவும் காணவில்லை (ஏசாயா 40:26)

முடிவுகளை

    1. பின்னிணைப்புகள் மற்றும் மாண்டல்பிரோட் சமன்பாட்டின் இந்த சுருக்கமான பரிசோதனையில், கணிதத்திலும், பிரபஞ்சத்தின் வடிவமைப்பிலும் உள்ளார்ந்த அழகு மற்றும் ஒழுங்கைக் கண்டோம்.
    2. இது கடவுளின் மனதில் ஒரு பார்வை தருகிறது, இது ஒழுங்கு, அழகு மற்றும் எல்லையற்ற வகையை தெளிவாகக் கொண்டுள்ளது மற்றும் மனிதர்களை விட மிகவும் புத்திசாலித்தனமான மனதிற்கு சான்றாகும்.
    3. இந்த விஷயங்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும் (மற்றொரு கருத்து!) பாராட்டுவதற்கும் அவர் நமக்கு நுண்ணறிவைக் கொடுத்தார் என்பதும் அவரது அன்பைக் காட்டுகிறது.

ஆகவே, அவர் உருவாக்கியவற்றிற்காகவும், படைப்பாளராகவும் அவரைப் பாராட்டுவதற்கான அந்தக் கருத்தை காண்பிப்போம்.

அங்கீகாரங்களாகக்:

கார்னர்ஸ்டோன் தொலைக்காட்சி நெட்வொர்க்கின் ஆரிஜின்ஸ் தொடரிலிருந்து யூடியூப் வீடியோ “தி சீக்ரெட் கோட் ஆஃப் கிரியேஷன்” வழங்கிய உத்வேகத்திற்கு நன்றியுடன் நன்றி.

நியாயமான பயன்பாடு: பயன்படுத்தப்படும் சில படங்கள் பதிப்புரிமை பெற்ற பொருளாக இருக்கலாம், அவற்றின் பயன்பாடு எப்போதும் பதிப்புரிமை உரிமையாளரால் அங்கீகரிக்கப்படவில்லை. விஞ்ஞான மற்றும் மத சிக்கல்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கான எங்கள் முயற்சிகளில் இதுபோன்ற பொருட்களை நாங்கள் கிடைக்கச் செய்கிறோம். இது அமெரிக்க பதிப்புரிமைச் சட்டத்தின் 107 வது பிரிவில் வழங்கப்பட்டுள்ள எந்தவொரு பதிப்புரிமை பெற்ற பொருளையும் நியாயமான முறையில் பயன்படுத்துவதாக நாங்கள் நம்புகிறோம். தலைப்பு 17 யு.எஸ்.சி பிரிவு 107 க்கு இணங்க, இந்த தளத்திலுள்ள பொருள் தங்கள் சொந்த ஆராய்ச்சி மற்றும் கல்வி நோக்கங்களுக்காக பொருட்களைப் பெறுவதற்கும் பார்ப்பதற்கும் ஆர்வத்தை வெளிப்படுத்துபவர்களுக்கு லாபமின்றி கிடைக்கிறது. நியாயமான பயன்பாட்டிற்கு அப்பாற்பட்ட பதிப்புரிமை பெற்ற உள்ளடக்கத்தை நீங்கள் பயன்படுத்த விரும்பினால், பதிப்புரிமை உரிமையாளரிடமிருந்து நீங்கள் அனுமதி பெற வேண்டும்.

Tadua

தடுவாவின் கட்டுரைகள்.
    4
    0
    உங்கள் எண்ணங்களை விரும்புகிறேன், தயவுசெய்து கருத்து தெரிவிக்கவும்.x