මැවීමේ සත්‍යය වලංගු කිරීම

උත්පත්ති 1: 1 - “ආරම්භයේ දී දෙවියන් වහන්සේ අහසත් පොළොවත් මැවූ සේක”

1 ශ්‍රේණිය - නිර්මාණ කේතය - ගණිතය

1 වන කොටස - මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් සමීකරණය - දෙවියන්ගේ මනසට දර්ශනයක්

හැදින්වීම

ගණිතය විෂය ප්‍රතිචාර දෙකෙන් එකක් ගෙන එයි.

1. 1. ගැටළුවක් නැත, එය එතරම් සංකීර්ණ නොවේ නම් සහ
   2. මම ගණිතයට කැමති නැහැ මේ හේතුව නිසා xxxxxx.

කෙසේ වෙතත්, 'ගණිතය' යන වචනය ඔබ තුළ ඉස්මතු වූ ප්‍රතිචාරය කුමක් වුවත්, දෙවියන්ගේ පැවැත්ම සඳහා මෙම සුන්දර සාක්ෂිය තේරුම් ගැනීමට ඔබට ගණිතයක් ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය නොවන බව සහතික වන්න.

පරිණාමවාදයේ න්‍යායට අනුව අන්ධ අහම්බෙන් අප මෙහි පැමිණීමට වඩා සෑම දෙයක්ම මැවූ දෙවියෙකු සැබවින්ම සිටින බවට විශ්වාසයක් ඇති කිරීමට මෙම ලිපිය උත්සාහ කරනු ඇත.

එබැවින් කරුණාකර මා සමඟ මෙම විභාගය දිගටම කරගෙන යන්න.

ගණිතය

මොනා ලිසා වැනි සුන්දර හෝ ආකර්ශනීය සිතුවමක් අප දකින විට, අපට එය අගය කළ හැකි අතර, අපට කිසි විටෙකත් එවැනි ආකාරයකින් පින්තාරු කිරීමට ආශාවක් නොතිබුණද, එහි නිර්මාතෘට බිය විය හැකිය. එය ගණිතය හා සමාන ය, අපට එය යන්තම් තේරුම් ගත හැකිය, නමුත් අපට තවමත් එහි සුන්දරත්වය අගය කළ හැකිය, මන්ද එය සැබවින්ම සුන්දර ය!

ගණිතය යනු කුමක්ද?

• • ගණිතය යනු සංඛ්‍යා අතර සම්බන්ධතා අධ්‍යයනය කිරීමයි.

අංක මොනවාද?

• • ඒවා වඩාත් හොඳින් විස්තර කර ඇත්තේ a සංකල්පය ප්‍රමාණය.

එසේනම් ඉලක්කම් මොනවාද?

• • ලිඛිත ඉලක්කම් සංඛ්‍යා නොවේ, ඒවා නම් අපි සංඛ්‍යා සංකල්පය ලිඛිත හා දෘශ්‍ය ස්වරූපයෙන් ප්‍රකාශ කරන ආකාරයයි.
  • ඒවා හුදෙක් සංඛ්‍යා නිරූපණයකි.

මීට අමතරව, මතක තබා ගත යුතු ප්‍රධාන කරුණක් නම් ගණිතයේ සියලුම නීති වේ සංකල්පීය.

• • සංකල්පයක් යනු මනසෙහි පිළිසිඳ ගත් දෙයක්.

පදනම

අපි හැමෝම හුරු පුරුදුයි සංකල්පය “කට්ටලයක”. ඔබට ක්‍රීඩා කාඩ්පත් කට්ටලයක් හෝ චෙස් කෑලි කට්ටලයක් හෝ වයින් වීදුරු කට්ටලයක් තිබිය හැකිය.

එබැවින්, අර්ථ දැක්වීම අපට තේරුම් ගත හැකිය:

SET: = පොදු අර්ථ දක්වන ලද දේපලක් සහිත මූලද්‍රව්‍ය එකතුවකි.

නිදර්ශනය කිරීම සඳහා, එක් එක් ක්‍රීඩා කාඩ්පත සමස්ත කාඩ්පත් සමූහයේම අංගයක් වන අතර, ඒ හා සමානව එක් එක් චෙස් කෑල්ල සමස්ත චෙස් කට්ටලයේම අංගයකි. වයින් වීදුරුවක් යනු නිශ්චිත හැඩයකින් යුත් වීදුරු කට්ටලවලින් එකක් වන අතර එය සුවඳ සහ පෙනුම වැනි වයින් වලින් හොඳම දේ පිටතට ගෙන ඒම සඳහා නිර්මාණය කර ඇත.

ඒ හා සමානව, ගණිතයේ දී, සංඛ්‍යා සමූහයක් යනු එම කට්ටලය අර්ථ දක්වන නමුත් වෙනත් එකතුවක නොවිය හැකි නිශ්චිත දේපලක් හෝ ගුණාංග සහිත සංඛ්‍යා එකතුවකි.

උදාහරණයක් ලෙස, පහත අංක ගන්න: 0, -2, 1, 2, -1, 3, -3, -½,.

එම සංඛ්‍යා වලින් පහත සඳහන් දේ අයත් වේ

• • Set ණාත්මක කට්ටලය: {-2, -1, -3, -½}
  • ධනාත්මක කට්ටලය: {1, 2, 3, ½}
  • භාග සැකසුම: {-½, ½}
  • සම්පූර්ණ අංකය ධනාත්මක: {1, 2, 3}

සහ එසේ ය.

එවැනි එක් කට්ටලයක් වන්නේ මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලය:

Z සූත්‍රය සඳහා වන සියලුම සංඛ්‍යා (ඇ) සමූහය මෙයයි_n² + c = Z._n+1 සහ ඉසෙඩ්_n කුඩායි.

මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ කොටසක් අංක පිහිටුවීම

උදාහරණයක් ලෙස, අංක 1 මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ කොටසක් දැයි පරීක්ෂා කිරීමට:

C = 1 නම් Z සමඟ ආරම්භ කරන්න_n = 0.

මෙම සූත්‍රයේ මෙම සංඛ්‍යා ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

(Z) 0² + (ඇ) 1 = 1. එබැවින් ඉසෙඩ්_n = 0 සහ 1.

ඊළඟට 1 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = 1 සැකසීම අපට ලැබේ:

(Z) 1²+ (ඇ) 1 = 2.

ඊළඟට 2 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = 2 සැකසීම අපට ලැබේ:

2²+1 = 5

ඊළඟට 5 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = 5 සැකසීම අපට ලැබේ:

5²+1 = 26

ඊළඟට 26 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = 26 සැකසීම අපට ලැබේ:

26²+1 = 677

එබැවින් ඉසෙඩ්_n= 0, 1, 2, 5, 26, 677,…

එබැවින් c = 1 හි අගය බව අපට පෙනේ නැත මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ කොටසක් කුඩා නොවීම නිසා ඇත්ත වශයෙන්ම එය 677 බවට පත්ව ඇත.

ඉතින් c = -1 මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ කොටසක්?

කෙටි පිළිතුර ඔව්, ඉහත පියවර අනුගමනය කිරීමෙන් අපට පහත සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය ලැබේ.

Z සමඟ නැවත ආරම්භ වේ_n = 0. අපට ලැබෙන මෙම සූත්‍රයේ මෙම සංඛ්‍යා ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම:

(Z) 0² (ඇ) -1 = -1. එබැවින් ඉසෙඩ්_n = -1.

ඊළඟට -1 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = -1 සැකසීම අපට ලැබේ:

-1² -1 = 0.

ඊළඟට 0 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = 0 සැකසීම අපට ලැබේ:

 0²-1 = -1

ඊළඟට -1 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = -1 සැකසීම අපට ලැබේ:

-1² -1 = 0.

ඊළඟට 0 හි ප්‍රති result ලය ගනිමින් Z = 0 සැකසීම අපට ලැබේ:

 0²-1 = -1

ප්රති result ලය වන්නේ ඉසෙඩ් ය_n= 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1,….

එබැවින් අපට එය දැකිය හැකිය c = -1 is මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ කොටසක් සෑම විටම කුඩා වන බැවින්.

තව එකක් තියෙනවා සංකල්පය අලංකාරය දැකීමට පෙර පසුබිමක් ලෙස අප සාකච්ඡා කළ යුතුය.

මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ 'මන inary කල්පිත' සංඛ්‍යා ද අඩංගු වේ.

• • 'මන inary කල්පිත අංකයක' වර්ග ප්‍රමාණය negative ණ සංඛ්‍යාවක් වේ.
  • I වැනි²= -1 එහිදී මම මන inary කල්පිත අංකය වේ.

ඒවා දෘශ්‍යමාන කිරීම සඳහා සෘණ සංඛ්‍යා ශුන්‍යයේ සිට ධනාත්මක සංඛ්‍යා ඇති ප්‍රස්ථාරයක තිරස් x අක්ෂය ගැන සිතන්න. එවිට Y අක්ෂය සිරස් අතට -i, - ½i බිංදුව හරහා (අක්ෂ දෙකේ හරස් ලක්ෂ්‍යය) සහ ඉහළට ½i සහ i දක්වා ගමන් කරයි.

රූප සටහන 1: මන inary කල්පිත සංඛ්‍යා පෙන්වයි මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ වෙනත් අංක 0, -1, -2, are වන අතර 1, -3, not නොවේ. මෙම කට්ටලයේ තවත් සංඛ්‍යා වලට i, -i, ½i, - ½I ඇතුළත් වේ, නමුත් 2i, -2i එසේ නොවේ.

සියලු සංකීර්ණ ගණිතවල අවසානය එයයි.

දැන් එය ඇත්තෙන්ම සිත්ගන්නාසුලු තැනක්!

මෙම සූත්‍රයේ ප්‍රති Results ල

ඔබට සිතිය හැකි පරිදි සියලු වලංගු හා අවලංගු අගයන් අතින් ගණනය කර ඉතා දිගු කාලයක් ගතවනු ඇත.

කෙසේ වෙතත්, පරිගණක සිය දහස් ගණනක්, මිලියන ගණනක් වටිනාකම් ගණනය කිරීමටත්, මෙම සූත්‍රයේ ප්‍රති results ල දෘශ්‍යමය වශයෙන් ප්‍රස්ථාරයක සැකසීමටත් ඉතා හොඳ භාවිතයට ගත හැකිය.

ඇසින් පහසුවෙන් හඳුනා ගැනීම සඳහා වලංගු ලකුණු කළු පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇති අතර අවලංගු ලකුණු රතු පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇති අතර ඉතා ආසන්න නමුත් තරමක් වලංගු නොවන ලකුණු කහ පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇත.

එය සිදු කිරීම සඳහා අපි පරිගණක වැඩසටහනක් ක්‍රියාත්මක කරන්නේ නම්, පහත දැක්වෙන ප්‍රති result ලය පහත දැක්වේ.

(පහත දැක්වෙන විවිධ සබැඳි වැඩසටහන් සමඟ ඔබට එය උත්සාහ කළ හැකිය:

1. 1. http://math.hws.edu/eck/js/mandelbrot/MB.html
   2. https://sciencedemos.org.uk/mandelbrot.php
   3. http://www.jakebakermaths.org.uk/maths/mandelbrot/canvasmandelbrotv12.html
   4. http://davidbau.com/mandelbrot/
   5. https://fractalfoundation.org/resources/fractal-software/
   6. https://www.youtube.com/watch?v=PD2XgQOyCCk

)

රූප සටහන 2: මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් සමීකරණය සිතියම්ගත කිරීමේ ප්‍රති ult ලය

සොයාගැනීම 1

හැඩය වැනි විශාල කළු වකුගඩු මත විශාල කළු බෝලවල කහ අතු ගණන් කිරීමට අපි පටන් ගනිමු.

විශාල කළු වකුගඩු හැඩැති ප්‍රදේශයේ ඉහළ කුඩා කළු කවයේ අපට අතු 3 ක් ඇත. අපි වම්පස ඇති ඊළඟ කුඩාම කවයට ගියහොත් අපට අතු 5 ක් හමු වේ.

වම්පස ඇති ඊළඟ විශාලතම එක 7 ක් වන අතර 9, 11, 13 යනාදිය අමුතු අනන්තය දක්වා සියලු අමුතු සංඛ්‍යා ඇත.

රූප සටහන 3: ශාඛා

සොයාගැනීම 2

දැන්, ඉහළ සිට කළු වකුගඩු හැඩයේ දකුණට යාම එය ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි දනී. විශාලතම කළු බෝල මුදුනේ ඇති අතු ගණන ලෙස අපට 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 සහ පසුව ලැබේ.

සොයාගැනීම 3

නමුත් අපි තවම අවසන් කර නැත. ඉහළ සිට වමට යන විට, ශාඛා 3 ත් 5 ත් අතර ඉහළ සිට විශාලතම කළු කවයට ශාඛා 8 ක් ඇත, දෙපස රවුමේ අතු එකතුව! 5 ත් 7 ත් අතර කුඩා කළු කවයට 12 ක් ඇත.

එකම මුදල් දකුණට යන බව සොයාගෙන ඇත. ඉතින්, 3 ත් 4 ත් අතර විශාලතම පන්දුව ශාඛා 7 ක් ද, 4 ත් 5 ත් අතර ශාඛා 9 ක් සහ යනාදිය ඇත.

රූප සටහන 4: ශාඛාවලට ගණිතයද කළ හැකිය!

සොයාගැනීම 4

තවද, මෙම හැඩයන් අඛණ්ඩව විශාලනය කළ හැකි අතර එකම හැඩයන් පුනරාවර්තනය වේ.

රූප සටහන 5: එකම රටාව අනන්ත ලෙස පුනරාවර්තනය වේ

කළු රේඛාවේ වම් කෙළවරේ වම් පැත්තට යන කුඩා කළු තිත, විශාලනය කළහොත් අප මෙහි දකින රූපය සමාන වේ. එය සැබවින්ම මනස අවුල් කිරීමකි.

සොයාගැනීම 5

විශාල හෘද හැඩය සහ වම්පස ඇති කළු රවුම අතර එහි දක්නට ලැබෙන සුන්දර හැඩතල සඳහා සීහෝර්ස් නිම්නය මෙන් පෙනේ.

රූප සටහන 6: මුහුදු අශ්වයන්ගේ නිම්නය!

නිල් පැහැය සඳහා රතු පැහැය සහ සුදු පැහැය සඳහා කහ පැහැය වෙනස් කිරීම, අපි විශාලනය කරන විට, වම් පසින් අමුණා ඇති බෝලයක් සහිත කළු වකුගඩු හැඩයේ මූලික රටාවේ වඩාත් සුන්දර රටා සහ පුනරාවර්තන අපට පෙනේ.

රූප සටහන 7: සමීපව ඇති මුහුදු අශ්වයා

අප දකින දීප්තිමත් සුදු පැල්ලම විශාලනය කිරීම:

රූප සටහන 8: සීහෝර්ස් මධ්‍යයේ සුදු පැහැ සුළි සුළඟ පිළිබඳ විස්තර

කේන්ද්‍රීය ස්ථානයේ තව දුරටත් විශාලනය කිරීමෙන් අපට පහත දේ ලැබේ:

රූප සටහන 9: අමතර විශාලනය!

තව තවත් විශාලනය කිරීමෙන් අපගේ තවත් මූලික හැඩයක් අපට හමු වේ:

රූප සටහන 10: එහි හැඩය නැවතත්

අපි එක් සුළි සුළඟක් විශාලනය කළහොත්, අපට පහත දේ ලැබේ:

රූප සටහන 11: පාලනයේ සර්පිලාකාරය

සුළි සුළඟේ කේන්ද්‍රයේ අපට පහත දේ ලැබේ:

රූප සටහන 12: මගේ ඇස්ද සුළි සුළඟට යනවාද?

සුළි සුළං දෙකෙන් එකක් විශාලනය කිරීමෙන් අපට පහත පින්තූර දෙක ලැබෙනු ඇත. ඒවාට තවත් ආරම්භක මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් වකුගඩු හැඩය සහ පන්දුව ඇතුළත් වේ.

රූප සටහන 13: ඔබ සිතුවේ එම කළු හැඩයේ අන්තිමයා ඔබ දැක ඇති බවයි!

රූප සටහන 14: ඔව්, එය යළිත් වරක් වෙනස් රටාවකින් වටවී ඇත

සොයාගැනීම 6

මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් කට්ටලයේ අපගේ පළමු පින්තූරයට ආපසු ගොස් විශාල හෘද හැඩයේ දකුණු පැත්තේ ඇති 'නිම්නය' වෙත හැරී විශාලනය කිරීමේදී අලි වැනි හැඩයන් අපට දැකගත හැකිය, එය අපි අලි නිම්නය ලෙස නම් කරමු.

රූප සටහන 15: අලි නිම්නය

අපි විශාලනය කරන විට, පහත දැක්වෙන පරිදි තවත් ලස්සන නමුත් වෙනස් පුනරාවර්තන හැඩයන් අපට ලැබේ:

රූප සටහන 16: අලි රංචුව අනුගමනය කරන්න. හප් දෙක, තුන, හතර, අලි පාගමන.

අපිට ඉදිරියට යන්න පුළුවන්.

සොයාගැනීම 7

ඉතින්, මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් සමීකරණයෙන් මෙම භාගවල ඇති සුන්දරත්වයට හේතුව කුමක්ද?

ඔව්, පරිගණකය විසින් මිනිසා විසින් සාදන ලද වර්ණ පටිපාටියක් භාවිතා කර ඇති නමුත් වර්ණ ඉස්මතු කරන රටා ගණිතමය සූත්‍රයේ ප්‍රති result ලයකි. එය පරිණාමය වීමට හෝ වෙනස් කිරීමට නොහැකිය.

අලංකාරය ගණිතයේ මෙන්ම අභ්‍යන්තරයේද සංකීර්ණ වේ.

සොයාගැනීම 8

එක් විශේෂිත වචනයක් දිගින් දිගටම දිස්වන බව ඔබ දැක ඇති. ඒ වචනය “සංකල්පය”.

• සංකල්පයක් වියුක්ත ස්වභාවයක් ගනී.
• සංකල්පයක් පවතින්නේ අපගේ මනසෙහි පමණි.

සොයාගැනීම 9

මෙය සිතන පුද්ගලයින්ගේ මනසෙහි පහත සඳහන් ප්‍රශ්න මතු කරයි.

ගණිතයේ නීති පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද?

• • සංකල්පයක් වීම නිසා, ඒවා පැමිණිය හැක්කේ වෙනත් මනසකින් පමණි, එය විශ්වය පුරා වලංගු වීමට අපට වඩා ඉහළ බුද්ධියක් තිබිය යුතුය.

ගණිතයේ නීති පරිණාමය වී තිබේද? එසේ නම්, ඔවුන් එය කරන්නේ කෙසේද?

• • වියුක්ත දේවල් භෞතික නොවන බැවින් පරිණාමය විය නොහැක.

මිනිසුන් ගණිතයේ මෙම නීති නිර්මාණය කළේද?

• • නැත, ගණිතයේ නීති මිනිසුන් ඉදිරියේ පැවතුනි.

ඔවුන් විශ්වයෙන් පැමිණේද?

• • අහඹු සිදුවීමකින් යමක් ඇණවුම් කළ නොහැක. විශ්වයට මනසක් නැත.

අපට පැමිණිය හැකි එකම නිගමනය නම්, ඒවා මිනිසාට වඩා උසස් කෙනෙකුගේ මනසින් පැමිණිය යුතු බවයි. එබැවින් ඔවුන්ට සාධාරණ ලෙස පැමිණිය හැකි එකම දෙය විශ්වයේ මැවුම්කරු විය යුතුය, එබැවින් දෙවියන් වහන්සේගෙන්.

ගණිතයේ නීති:

• • සංකල්පීය,
  • විශ්වීය,
  • වෙනස්,
  • ව්‍යතිරේක-අඩු ආයතන.

ඔවුන්ට පැමිණිය හැක්කේ දෙවියන් වහන්සේගෙන් පමණි.

• • දෙවියන් වහන්සේගේ සිතුවිලි සංකල්පීය ය (යෙසායා 55: 9)
  • දෙවියන් වහන්සේ විශ්වය මැවීය (උත්පත්ති 1: 1)
  • දෙවියන් වහන්සේ වෙනස් නොවේ (යෙසායා 43: 10 ආ)
  • දෙවියන් වහන්සේ සියලු ස්වර්ගීය මැවිල්ල දනී, කිසිවක් නැති වී නැත (යෙසායා 40:26)

නිගමන

1. 1. අස්ථි බිඳීම් සහ මැන්ඩෙල්බ්‍රොට් සමීකරණය පිළිබඳ මෙම කෙටි පරීක්ෂණයෙන් ගණිතය හා විශ්වයේ සැලසුම තුළ ඇති සුන්දරත්වය හා පිළිවෙල අපි දැක ඇත්තෙමු.
   2. මෙය අපට දෙවියන් වහන්සේගේ මනස පිළිබඳ අවබෝධයක් ලබා දෙන අතර, එය පිළිවෙල, අලංකාරය සහ අසීමිත විවිධත්වය පැහැදිලිවම අඩංගු වන අතර මිනිසුන්ට වඩා බුද්ධිමත් මනසකට එය සාක්ෂියකි.
   3. එය සොයා ගැනීමට හැකි බුද්ධිය ඔහු අපට ලබා දුන් බවත් (තවත් සංකල්පයක්!) මේ දේවල් අගය කරන බවත් ඔහුගේ ප්‍රේමය පෙන්නුම් කරයි.

එබැවින් ඔහු විසින් නිර්මාණය කරන ලද දේ සහ මැවුම්කරු වශයෙන් ඔහු අගය කිරීමේ සංකල්පය ප්‍රදර්ශනය කරමු.

පිළිගැනීම්:

කෝනර්ස්ටන් ටෙලිවිෂන් ජාලය විසින් ඔරිජින්ස් ශ්‍රේණියේ “රහස් නිර්මාණය කිරීමේ රහස” යූ ටියුබ් වීඩියෝව මගින් ලබා දුන් ආනුභාවයට ස්තූතිවන්ත වෙමු.

සාධාරණ භාවිතය: භාවිතා කරන සමහර පින්තූර කතුහිමිකම සහිත ද්‍රව්‍ය විය හැකිය, ඒවා භාවිතා කිරීම සැමවිටම ප්‍රකාශන හිමිකරු විසින් අවසර දී නොමැත. විද්‍යාත්මක හා ආගමික කරුණු පිළිබඳ අවබෝධය වැඩි දියුණු කිරීම සඳහා අප දරන උත්සාහයේ දී අපි එවැනි තොරතුරු ලබා දෙන්නෙමු. එක්සත් ජනපද ප්‍රකාශන නීතියේ 107 වන වගන්තියේ දක්වා ඇති පරිදි එවැනි ඕනෑම ප්‍රකාශන හිමිකමක් ඇති ද්‍රව්‍යයක් සාධාරණ ලෙස භාවිතා කරනු ඇතැයි අපි විශ්වාස කරමු. මාතෘකාව 17 යූඑස්සී 107 වන වගන්තියට අනුකූලව, මෙම වෙබ් අඩවියේ ඇති තොරතුරු ඔවුන්ගේ පර්යේෂණ හා අධ්‍යාපන අරමුණු සඳහා ද්‍රව්‍ය ලබා ගැනීමට සහ බැලීමට උනන්දුවක් දක්වන අයට ලාභයකින් තොරව ලබා ගත හැකිය. සාධාරණ භාවිතයෙන් ඔබ්බට ගිය ප්‍රකාශන හිමිකම සහිත ද්‍රව්‍ය භාවිතා කිරීමට ඔබ අදහස් කරන්නේ නම්, ඔබ ප්‍රකාශන හිමිකරුගෙන් අවසර ලබා ගත යුතුය.

තදුවා

ටඩුවාගේ ලිපි.